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0174. Perché la gravità è diretta verso il centro della Terra?

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Come si dimostra matematicamente che il campo gravitazionale terrestre produce una forza (gravità) diretta verso il centro della Terra? (Remo)(3034)


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Esiste un teorema molto generale, che dice che il flusso totale di ciò che esce od entra attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle sorgenti, positive e negative, al suo interno. E’ un teorema che vale per tutto: flusso di materia, di radiazione, di campi di forza. Se si considera una superficie chiusa dentro un fiume questo teorema risulterà evidente: tanta acqua entra quanta ne esce: non c’è accumulo di acqua all’interno ed il flusso totale è nullo.

Anche nel caso del campo elettrostatico E la validità del teorema è evidente: il suo flusso attraverso una superficie chiusa che racchiude una carica Q è proprio uguale al valore della carica racchiusa. In termini matematici: integrale di E x dS fatto su S = Q/?0 (con x prodotto scalare del vettore E con il versore della normale a dS, ed ?0 costante dielettrica nel vuoto). Lo stesso vale per il campo gravitazionale: il suo flusso attraverso una superficie chiusa che racchiude una massa M è uguale al valore della massa M. Se poi la superficie è sferica, e la massa M è al centro della sfera, il campo gravitazionale risulta perpendicolare alla superficie sferica e di identico valore in tutti i suoi punti.

Questo vale anche se la massa M è distribuita uniformemente su superfici concentriche: essa appare sulla superficie sferica ed al suo esterno come tutta concentrata al centro. Questo è in prima approssimazione il caso della Terra, non interessa se la sua densità via via aumenta avvicinandosi al suo centro, e basta considerare la massa totale della Terra come se fosse concentrata al centro. Di conseguenza il campo gravitazionale terrestre è, in prima approssimazione, identico in ogni punto della superficie sferica concentrica considerata, e diretto verso il suo centro della Terra. Tuttavia la forma della Terra non è perfettamente sferica: è schiacciata ai poli, la sua sezione all’equatore non è un cerchio perfetto ma una ellisse (schiacciamento equatoriale) ed ha inoltre notevoli variazioni locali sia per l’orografia che per le variazioni di densità nella crosta terrestre. Per quanto riguarda queste variazioni è ben noto che esse, tramite misure precise del campo gravitazionale locale, permettono di individuare riserve di gas o di petrolio nel sottosuolo. Lo schiacciamento ai poli è utilizzato per far variare il piano di rotazione dei satelliti artificiali, che altrimenti rimarrebbe fisso nello spazio in virtù della conservazione del momento della quantità di moto: c’è una inclinazione dell’orbita rispetto al piano equatoriale, circa 82° (ma dipende un pò anche dall’altezza del satellite), che fa sì che il piano su cui ruota il satellite ruoti dello stesso angolo della Terra attorno al Sole. Quindi il piano di rotazione rimane fisso rispetto al Sole, con tutti i vantaggi che ne derivano dovuti allo sfruttamento della costanza nel tempo dell’esposizione alla sua luce. Anche lo schiacciamento equatoriale è sfruttato dai satelliti artificiali. Esso permette di mantenere in posizione stabile quei satelliti che girano sul piano equatoriale con una velocità angolare uguale a quella della rotazione terrestre attorno al proprio asse.

Sono i noti satelliti geostazionari che stanno ad una altezza di circa sei raggi terrestri quasi fissi al disopra di un punto geografico, e sono quindi usati per le telecomunicazioni e il telerilevamento e alle longitudini corrispondenti all’asse minore dell’ellisse che descrive lo schiacciamento equatoriale, cioè alle longitudini dell’India (75°E) e della California (255°E), questi satelliti mantengono la loro posizione nominale entro pochi gradi, oscillando attorno ad essa, senza ricorrere a correzioni attive che comportano propulsori e carburante a bordo. Tutto quanto sopra illustrato può essere descritto con una funzione, il potenziale gravitazionale che dipende alla distanza r dal centro della Terra, dalla latitudine f e dalla longitudine L. Per utilizzarlo nei calcoli tale potenziale si sviluppa in una serie polinomiale, i cui coefficienti danno le correzioni da apportare alla approssimazione sferica. Sono stati finora determinati 70 coefficienti che tengono conto di moltissimi effetti, oltre quelli sopra menzionati.

Tuttavia per i satelliti per il controllo della posizione e dei movimenti di oggetti relativamente piccoli sulla superficie terrestre o nell’atmosfera, la cui posizione istantanea nello spazio richiede di essere conosciuta con la precisione di poche decine di cm, questo calcolo non basta, e sono perciò messi in orbita satelliti dedicati specificatamente alla misura molto precisa del campo gravitazionale terrestre per determinare i coefficienti di ordine ancora superiore.

Piero Spillantini - Fisico


 

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