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0346. Come Keplero ha determinato che l'orbita è ellittica?

espertomini

Sono un alunno che spesso non trova risposte hai suoi quesiti. Non riesco a capire come Keplero sia riuscito a determinare che l'orbita dei pianeti intorno al Sole sia ellittica. Le altre due leggi sono riuscito a dimostrarle, invece. Ma come Keplero ha determinato che l'orbita è ellittica? A posteriori con le nostre conoscenza attuali si può dimostrare (in maniera facile) che deve essere ellittica ? (Luciano Mottola). (2220_3148_5310)



sem_esperto_verdeLe tre leggi che Keplero icona_biografia scoprì, sono il frutto del lavoro svolto dallo scenziato tedesco per inquadrare la grande quantità di osservazioni fatte dal suo maestro Tycho Brahe icona_quantibio nella concezione eliocentrica dell’Universo di Copernico icona_biografia , cioè con il Sole al centro dell’Universo e i pianeti e la Terra in moto attorno ad esso. I dati sperimentali (le osservazioni) raccolti da Brahe icona_quantibio erano così numerosi e precisi da permettere a Keplero di formulare le tre leggi, che per questo si possono definire fenomenologicheicona_glossario , nel senso che ammettendo la validità di esse, le osservazioni delle posizioni dei pianeti fatte nel passato concordavano perfettamente con quanto calcolato utilizzando le tre leggi; non solo, si potevano anche calcolare le posizioni dei pianeti nel futuro, e quindi in conclusione, conoscere il moto dei pianeti attorno al Sole. In effetti, come dice il nostro web-nauta, è facile dimostrare la seconda e la terza legge di Keplero; infatti la seconda si può ricavare imponendo la conservazione del momento angolare icona_glossario icona_esperto[140] del sistema, mentre la terza è una conseguenza del principio di conservazione dell’energia icona_esperto[100]icona_esperto[317]. Ricordiamo che la prima legge di Keplero afferma: le orbite dei pianeti sono ellittiche e il Sole occupa uno dei fuochi icona_glossario . Il nostro web-nauta ci chiede come ha fatto Keplero a determinare che le orbite dei pianeti sono delle ellissi icona_glossario in cui il Sole occupa uno dei fuochi. Ebbene, come detto prima, Keplero ha messo in accordo i dati sperimentali con una ipotesi empirica non dedotta da leggi consolidate. Egli ha supposto che le orbite fossero ellittiche, e questa supposizione è stata sufficiente. Tutte le osservazioni sperimentali delle posizioni dei pianeti si accordano infatti con questa ipotesi.

sem_esperto_gialloChe l’orbita di un pianeta sia ellittica icona_esperto[49],icona_esperto[244],icona_esperto[310] si può dimostrare in realtà utilizzando la legge di attrazione gravitazionale icona_glossario scoperta da Isaac Newton

F=GmM/r2 

dove G icona_esperto[322], icona_esperto[102] è la costante di gravitazione universale, m ed M sono le masse dei corpi (nel caso astronomico del satellite e del Sole) ed r indica la distanza che le separa, unitamente alla seconda legge del moto (F = ma, dove "a" è l'accelerazione). Ciò, comunque, è un risultato successivo. In pratica Keplero non aveva dimostrato che le orbite sono delle ellissi: egli aveva scoperto che le osservazioni sperimentali si potevano spiegare facendo tale ipotesi. Utilizzando le leggi di Newton (gravitazione e seconda legge del moto) si può invece far derivare da esse che le orbite sono effettivamente delle ellissi. La dimostrazione è abbastanza complessa e richiede conoscenze nel campo della matematica superiore (derivazione e integrazione di funzioni, calcolo infinitesimale, risoluzione di equazioni differenziali, trattazione del problema in coordinate polari). Tuttavia, posso tentare di illustrare il percorso che si segue per dimostrare che l’orbita è una ellisse icona_glossario (o una conica icona_glossario in generale icona_linkesterno). Si parte dal descrivere il problema in coordinate icona_glossario polari: anziché utilizzare le coordinate x e y di un piano cartesiano per descrivere il moto del punto materiale (pianeta), si utilizzano le coordinate icona_glossario polari: la posizione del punto materiale viene quindi individuata da una coppia di numeri: la distanza r da un punto origine e l’angolo q che la congiungente con l’origine forma con l’asse orizzontale (quello delle x per capirci). L’utilizzo di coordinate polari permette di semplificare i calcoli.  Coordinate Polari:

ScienzaPerTutti_coordinate_cartesiane

Coordinate Cartesiane

ScienzaPerTutti_coordinatepolari

Coordinate Polari

Si calcolano la derivata prima rispetto al tempo del vettore icona_glossario posizione r (individuato dal modulo di r e dall'angolo q) che è la velocità, e la derivata seconda rispetto al tempo del vettore r, che è l’accelerazione. Successivamente, imponendo alcune condizioni tipiche del moto in esame, per esempio che l’accelerazione è sempre diretta lungo il vettore r in quanto la forza è diretta verso il centro, imponendo che la forza (massa x accelerazione) sia uguale alla forza gravitazionale GmM/r2, e usando tecniche tipiche dell’analisi matematica si arriva ad una equazione del moto che ha la forma seguente:

r = Costante / (1 + e cosq) che è l’equazione di una conica, nella fattispecie:

di una ellisse (se il parametro eccentricità e è compreso tra 0 e 1),

di una parabola (se e=1),

di una iperbole (se e>1),

di un cerchio (se e=0).

E’ da notare che in natura si hanno orbite ellittiche con relativamente piccola eccentricità icona_glossario (quelle dei pianeti del sistema solare, o di altri sistemi), orbite con grande eccentricità (comete periodiche che danno sfoggio di sé durante il loro avvicinamento al sole, per poi allontanarsi per decenni o centinaia di anni), ma anche orbite paraboliche icona_glossario o iperboliche icona_glossario (comete che dopo un solo passaggio non vengono catturate dal sistema solare e non faranno mai ritorno).

Sandro Barbanera – Fisico

Nota redazionale SxT

Se il nostro web-nauta, o altri, desidera la dimostrazione completa, l’autore è disponibile a fornirla per esteso, anche se come detto sopra sono richieste conoscenze matematiche che si acquisiscono nel primo o secondo anno di una facoltà scientifica come Fisica o Matematica.


 

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