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0307. In cosa aiuta il concetto di spazio ad infinite dimensioni la matematica e la fisica?

espertomini

Ho letto su un libro che Hilbert introdusse il concetto di spazio ad infinite dimensioni. L`introduzione di questo concetto in che cosa aiuta la matematica o la fisica? Probabilmente l’argomento è troppo complicato per poterlo esporre in poche righe. Ma ammesso che sia possibile, vorrei per esempio capire perché un problema che con le tre normali dimensioni non è risolto può essere risolto da uno spazio a più di tre dimensioni (eventualmente infinito). (Luca) (2192)


sem_esperto_rossoIn matematica ci si riferisce spesso al concetto di spazio per descrivere un insieme di elementi che soddisfino particolari proprietà. In tale definizioni può rientrare anche lo spazio geometrico, ma in generale, si tratta di insiemi astratti, le cui proprietà vengono descritte con un linguaggio preso in prestito da quello utilizzato per descrivere le proprietà geometriche. Ad esempio con spazio vettoriale si descrive in matematica un insieme di elementi sui quali è possibile definire operazioni che godano delle stesse proprietà di quelle proprie ai vettori geometrici icona_approfondimento. In questo insieme, oltre allo spazio geometrico, rientra l’algebra lineare icona_glossario , branca della matematica che concerne lo studio delle trasformazioni lineari. Se, nel definire le proprietà di uno spazio vettoriale, richiediamo strutture aggiuntive quali un prodotto interno (detto anche prodotto scalare ma da non confondersi con la moltiplicazione scalare che ogni spazio vettoriale possiede) icona_esperto[170] , otteniamo spazi che sono delle generalizzazioni degli spazi euclidei e che sono studiati nell’analisi funzionale. David Hilbert icona_minibiografia, uno dei più grandi matematici del secolo scorso lavorò molto su questa tema. Lo spazio di Hilbert icona_miniapprofondimento è uno di questi spazi e le sue caratteristiche servono a chiarire ed a generalizzare certe trasformazioni lineari come, ad esempio le trasformazioni di Fourier icona_minibiografia icona_glossario . Gli spazi di Hilbert sono di importanza fondamentale nella descrizione matematica della meccanica quantistica icona_glossario , sebbene molte proprietà della meccanica quantistica possano essere comprese senza andare nei dettagli degli spazi di Hilbert. In una formulazione matematicamente rigorosa della meccanica quantistica, come quella sviluppata da Paul Dirac icona_biografia , gli stati possibili di un sistema meccanico quantistico sono rappresentati da vettori unitari, chiamati vettori di stato, appartenenti ad uno spazio di Hilbert ad infinite dimensioni e le operazioni definite nello Spazio di Hilbert permettono di dare delle definizioni rigorose di autostati, autovalori ed operatori.

Giancarlo Susinno – Fisico

Nota redazionale SxT

Il nostro web-nauta si chiede come “un problema che con le tre normali dimensioni non è risolto può essere risolto da uno spazio a più di tre dimensioni”. Nel caso dello Spazio di Hilbert, come è chiarito nella risposta del nostro esperto, non ci si riferisce necessariamente ad uno spazio geometrico ma ad uno spazio astratto. Quanto si parla, di extradimensioni per meglio comprendere i fenomeni fisici ci si riferisce invece a reali extradimensioni geometriche che nostro che il nostro cervello non percepisce. I lettori troveranno nel nostro percorso “L’universo a molte dimensioni “ icona_esperto alcuni esempi di come l’utilizzo di più dimensioni possa essere utile per trattare in modo più soddisfacente i processi fisici che osserviamo nello spazio tridimensionale.


 

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