0234. Esiste una branca della matematica che dimostra che 1+1=3?

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Ho sentito che esiste una branca della matematica che riesce a dimostrare che 1+1=3: Mi hanno detto che si chiama matematica del caos? E' vero? (Leo) (2112)


sem_esperto_verdeIl cosiddetto Caos è un fenomeno che ha attirato grande attenzione da parte dei matematici e dei fisici nel secolo scorso, a partire dal famoso matematico francese Henri Poincarè icona_biografia  ed è tuttora oggetto di studi approfonditi. Esso è propriamente un capitolo della cosiddetta dinamica non-lineare, e cioè essenzialmente della Meccanica Classica fondata da Newton icona_biografia . Nonostante i suoi storici successi nella descrizione dei movimenti celesti, alle soglie del secolo scorso, questa dottrina presentava ancora grandi problemi matematici insoluti. Per quanto forse messi un poco in ombra dalla grande rivoluzione che avveniva in altri campi della fisica, progressi straordinari sono stati ottenuti anche in questo campo, la cui importanza non è sfuggita ai fisici, e lo stesso Enrico Fermi vi ha portato contributi.

Questi studi hanno messo in evidenza, fra l’altro, il fenomeno del Caos.

Questo fenomeno ha aspetti che colpiscono l’immaginazione e così se ne sono trovate illustrazioni pittoresche, che nonostante qualche inevitabile sovra-semplificazione rendono abbastanza bene l’idea di base. La più popolare è probabilmente il “paradosso della farfalla”: se oggi una farfalla sbatte le ali a Pechino, domani si scatena un uragano nei Caraibi. Con ciò si vuol dare l’idea della complessità di un sistema come quello atmosferico il cui comportamento, pur essendo retto da equazioni matematiche esatte, esibisce un’estrema instabilità che lo rende ultrasensibile alle più minute variazioni e dunque essenzialmente imprevedibile a medio e a lungo termine. Questo è il caos; esistono molti sistemi fisici macroscopici che si comportano in maniera apparentemente imprevedibile e sembrano dunque sfidare la descrizione matematica a meno di non volerci introdurre il Caso. Eppure, al contrario, questi sistemi sono descritti da regole matematiche semplici che non hanno niente di casuale. Questa apparente contraddizione è stata risolta dalla scoperta che regole semplici non implicano necessariamente comportamenti semplici, al contrario sono perfettamente compatibili con comportamenti che sono imprevedibili a tutti gli effetti pratici. La descrizione di questi comportamenti ha appunto richiesto lo sviluppo di strumenti matematici che possono essere chiamati la matematica del Caos. Questa non rappresenta una sovversione della matematica tradizionale e in particolare 1+1 fa sempre 2; semplicemente, ha introdotto strumenti nuovi e innovativi. Alcuni dei relativi termini hanno addirittura trovato la via della letteratura di evasione, per esempio quello di Attrattore Strano, strettamente connesso a quello di Frattale icona_glossario e icona_esperto[34] . Si veda per esempio il bestseller “Jurassic Park” di M. Crichton. Una forma notissima, ma certo non la più sorprendente, di Caos è esibita da sistemi che consistono di un grandissimo numero di elementi. Per esempio, una bottiglia di gas contiene un grandissimo numero di molecole che si urtano continuamente e, seppure le leggi che regolano ciascuno di questi urti siano esatte e tutto sommato semplici, la descrizione matematica del comportamento individuale delle molecole è impossibile. Ciò non sembra sorprendente quando si pensa che, essendo molecole del gas in numero smisurato, occorrerebbe risolvere un numero impensabile di equazioni. Tuttavia c’è sotto molto di più. Il fisico Michael Berry icona_quantibio ha calcolato che, se si eliminasse l’ infinitesimale attrazione gravitazionale icona_esperto[102] che un elettrone posto ai limiti estremi icona_esperto[152] dell’Universo esercita sulle molecole del gas nella bottiglia, allora dopo un tempo piccolissimo (quello in cui, in media, avvengono 50 collisioni molecolari) una delle collisioni che avrebbero avuto luogo in presenza di quel lontanissimo elettrone non si verificherebbe più! Ciò significa che la complessità del moto molecolare non è solo dovuta al grande numero di molecole, ma anche alla natura stessa delle regole del moto molecolare, che sono tali da renderlo incredibilmente instabile. In effetti, se il gas fosse così rarefatto da contenere solo due molecole, ebbene il suo moto rimarrebbe ancora caotico solo che il tempo necessario perché questo fatto si traducesse in imprevedibilità sarebbe estremamente più lungo. Di nuovo, il caos qui è dovuto alla instabilità del moto e ciò si può capire assimilando le due molecole a due palle da biliardo. Se il biliardo è un gioco difficile che richiede grande abilità ed estrema precisione nella esecuzione dei colpi, è proprio perché la dinamica delle palle è estremamente instabile; variazioni piccolissime nella esecuzione del colpo producono esiti totalmente diversi già dopo uno o due rimbalzi o urti fra le palle. Se poi il numero di rimbalzi fosse aumentato, diminuendo l’attrito della tavola da biliardo, la difficoltà aumenterebbe in maniera esponenziale e l’abilità, cioè il calcolo, non potrebbe che cedere il posto alla fortuna, cioè al caso. E questo anche assumendo di potere eliminare totalmente ognuno dei minuti e incontrollabili fattori esterni di disturbo che sono sempre presenti. Perfino in quella situazione ideale nemmeno il computer più sofisticato potrebbe prevedere ciò che succede delle palle dopo un alto numero di rimbalzi. E questo è proprio ciò che avviene in un gas anche se composto di poche molecole. Un altro esempio fisico di dinamica caotica, noto da molto prima che si sviluppasse lo studio del caos, è la turbolenza nei fluidi icona_glossario , fenomeno osservabile quotidianamente e la cui comprensione matematica ha nondimeno a lungo sfidato gli sforzi dei fisici, ad onta delle grandi scoperte che si venivano realizzando in altri campi. Proprio in connessione a questo fenomeno ha fatto il suo ingresso il concetto di Attrattore Strano.

La letteratura divulgativa sul Caos è vasta. Trovo particolarmente riuscito il Quaderno de "Le Scienze - Il caos : le leggi del disordine” (1991), cui hanno contribuito scienziati di grande fama nel campo.

Italo Guarneri – Matematico


 

 
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