Un viaggio alla scoperta della complessità

10. Complessità e i voli di Lévy

di G. Bormetti, C.M. Carloni Calame, G. Montagna, N. Moreni, O. Nicrosini, M. Treccani

La legge empirica di Zipf che si incontra nello studio delle proprietà statistiche del linguaggio umano e del DNA è un esempio di cosiddetta legge di potenza. Una legge di questo tipo è caratteristica di quelle distribuzioni di probabilità studiate per primo  dal matematico francese Paul Lévy icona_minibiografia intorno agli anni ’30 del secolo scorso e per questo note come distribuzioni di Lévy.

Le variabili stocastiche descritte da queste distribuzioni di probabilità percorrono dei cammini irregolari e caotici (detti voli di Lévy) simili a prima vista - ma in realtà diversi se esaminati in maggiore dettaglio - a quelli della particella browniana che abbiamo già incontarto. Queste differenze si possono osservare chiaramente confrontando le due figure qui sotto, ottenute mediante simulazioni al computer: la figura a sinistra rappresenta il moto di una particella browniana in due dimensioni, mentre la figura a destra è la rappresentazione di un volo di Lévy.

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Moto browniano Volo di Lévy

Dal confronto fra queste due figure è possibile notare la diversa struttura spaziale dei due moti fortemente irregolari e, in particolare, come i voli di Lévy possono dare origine a dei “salti” di ampiezza più elevata rispetto a quelli più brevi del moto browniano ordinario. Per questo motivo, il moto browniano è un processo di diffusione normale, mentre i voli di Lévy sono un esempio di processo di super-diffusione. La cosa interessante è che molti fenomeni complessi che avvengono in natura presentano caratteristiche molto simili ai voli di Lévy e danno perciò origine a leggi di potenza.

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