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0184. Esistono rappresentazioni del tesseratto di una sfera tetra-dimensionale?

espertomini

E' noto che del tesseratto (cubo quadridimensionale) è possibile effettuare rappresentazioni bidimensionali oppure costruire addirittura modellini tridimensionali. La più nota di tali rappresentazioni consiste nel realizzare un cubo contenente al suo interno uno più piccolo e connettere i vertici del cubo interno con quello esterno che funge da "contenitore". Tali rappresentazioni sono ovviamente delle prospettive tridimensionali distorte di un oggetto che ha una dimensione in più rispetto ad ogni altro oggetto del mondo ordinario. Per quanto distorta sia, tale costruzione ci consente di "immaginare" come è fatto il tesseratto. Volevo sapere se esistono analoghe rappresentazioni/costruzioni anche per una sfera tetra-dimensionale. (Roberto ) (2070)


sem_esperto_gialloNel percorso “Tre e solo tre” di ScienzaPerTutti icona_esperto I nostri web-nauti possono trovare una introduzione alle extra-dimensioni spaziali e alla loro connessione con gli sviluppi della fisica contemporanea.

La rappresentazione matematica di oggetti in spazi a più di tre dimensioni è ben nota. Da molto tempo infatti i matematici sanno come trattare le extradimensioni. Bernhard Riemann icona_biografia il 10 giugno 1854, in un famoso seminario all'Università di Gottingen in Germania, introdusse per la prima volta una teoria sullo spazio con più di tre dimensioni. Non è invece possibile rappresentare compiutamente un oggetto quadri-dimensionale nel mondo tridimensionale della nostra esperienza quotidiana e tanto meno “disegnarlo” sul foglio bidimensionale. I primi tentativi di “immaginare” o rappresentare tali oggetti risalgono all’inizio del secolo scorso e seguono essenzialmente tre vie: lo sviluppo, la proiezione o la sezione dell’oggetto nello spazio tridimensionale.

L’uomo che per primo vide la quarta dimensione spaziale fu Charles Howard Hinton icona_quantibio, un matematico inglese emigrato negli Stati Uniti per sfuggire un processo in Inghilterra. Negli Stati Uniti Hinton abbandonò la carriera accademica per dedicarsi totalmente al tentativo di rendere popolare e visualizzare la quarta dimensione. La sua rappresentazione di maggior successo fu quella del cubo quadri-dimensionale. “raffigurato” in tre dimensioni. Come analogia egli partì dall’ordinario cubo a tre dimensioni e ne considerò lo sviluppo in due dimensioni ottenuto “aprendo” le sue 6 facce (quadrati) sul piano.

ScienzaPerTutti_sviluppo_del_cubo_2dim

Analogamente è possibile immaginare di “sviluppare” un ipercubo (un cubo a quattro) dimensioni nello spazio tridimensionale. Si otterrà una croce tridimensionale composta di 8 cubi.

scienzapertutti_schemi_tridimensionali

Ovviamente mentre ci è facile visualizzare la composizione dei quadrati a formare il cubo, non ci è possibile immaginare la “chiusura “ delle facce tridimensionali dell’ipercubo nella quarta. L’ipercubo, in questa sua rappresentazione di otto cubi tridimensionali è entrato anche nella storia dell’arte con il famoso dipinto di Salvator Dalì che si può ammirare al Metropolitan Museum di New York.

Un altro modo di “vedere” un oggetto quadri-dimensionale è quello di considerare la sua proiezione nel sottostante spazio tridimensionale. Partiamo ancora una volta da quello che avviene per il cubo tridimensionale quando osserviamo la sua ombra nello spazio bidimensionale- Sul piano a due dimensioni possiamo “visualizzare” un cubo osservando la sua ombra che appare come un quadrato dentro un quadrato. I vertici dei due cubi sono connessi da quattro spigoli. Questo tipo di rappresentazione prende il nome di cubo di Hinton

Allo stesso modo un ipercubo a quattro dimensioni proiettato in tre dimensioni apparirà come un cubo dentro un altro cubo. Le facce opposte dei due cubi saranno connesse da quattro superfici.

scienzapertutti_esperimento_ipercubo

Questa rappresentazione dell’ombra dell’ipercubo prende il nome di tesseract (tesserato) dal greco tessera che significa quattro e da aktis che significa raggi ad indicare appunto le quattro parti di congiungimento tra i due cubi. L’immagine del tesserato dipende ovviamente dall’angolazione della proiezione effettuata.

ScienzaPerTutti_tesseratto1

ScienzaPerTutti_tessseratto2

Per meglio comprendere la “costruzione” del tesserato possibili può essere utile per familiarizzarsi con le vari viste tramite un applet icona_linkesterno.

La “rappresentazione” dell’ipersfera a quattro dimensioni secondo questi metodi è molto meno intuitiva. Una rappresentazione tridimensionale dell’ipersfera, ispirata alla metodologia dei cubi di Hinton realizzata da David H. Laidlaw e H. Kocak è stata pubblicata in The Mathematical Tourist, Ivars Peterson, W. H. Freeman and Co., New York, 1988.

ScienzaPerTutti_hypersfera

Laidlaw/Kocak Copyrigth 1981

C’è però anche un altro modo per “visualizzare” oggetti in quattro dimensioni nelle nostre tre dimensioni, quello di considerare come ci apparirebbero tali oggetti se muovessero attraversando una porzione del nostro spazio a tre dimensioni.

Anche in questo caso ci faremo aiutare dalle analogie in un numero di dimensioni inferiori.

Cominciamo a considerare un cerchio (un cerchio è una sfera bi-dimensionale) che attraversa uno spazio a una singola dimensione (cioè una retta). Il cerchio non cambia dimensioni nel tempo ma la sua sezione con il piano inizia con un punto si estende fino al diametro del cerchio e poi regredisce fino a sparire. L’ intersezione della sfera bidimensionale con uno spazio a una dimensione di meno (lo spazio uni-dimensionale) è quindi una retta di dimensioni variabili.

ScienzaPerTutti_cerchio_cross_rettaOsserviamo però che questo è quanto apparirebbe a noi osservatori all’esterno della retta ma, nello spazio nomo-dimensionale della retta, un eventuale osservatore vedrebbe solo un punto apparire, persistere per un certo tempo e poi sparire nuovamente.

Saliamo ora di una dimensione. Al posto del cerchio c’è la sfera tridimensionale e lo spazio attraversato è ora uno spazio bidimensionale. Nell’attraversamento del piano la sezioni della sfera sono dei cerchi. La sfera attraversando il piano produce cerchi che variano di ampiezza man mano che la sfera lo attraversa: dapprima un solo punto, quando la sfera tocca il piano; poi una sezione sempre più grande finché si arriva al cerchio massimo.

scienzapertutti_dimensioni_Sfera_tridimensionaleAccade il contrario quando la sfera si allontana: la sezione diminuisce per tornare ad essere un punto. Questo caso, l’incontro di Madame Sfera con lo spazio a due diemensioni, è descritto in Flatlandia, il singolare libro di Edwin A. Abbot pubblicato per la prima volta nel 1884 e continuamente ristampato (ultima ristampa gli Adelphi 2004) fino ai giorni nostri. Flatlandia è considerato una delle prime riflessioni sulla problematica delle extra-dimensioni. Anche in questo caso osserviamo che l’osservatore nello spazio bidimensionale non ha la percezione visiva dei cerchi. Mr. Quadro, l’abitante di Flatlandia non può vedere Madame Sfera nella sua interezza ma non vede neppure il profilo della sezioni, in quanto non può vedere dall'alto (da fuori del piano), vede quindi solo una linea che aumenta di lunghezza e poi diminuisce sino a sparire: un fatto che non può spiegare.

scienzapertutti_Mr_Quadro

Fonte illustrazione:
http://www.treccani.it/site/scienze6.htm

Questo curioso esempio ci suggerisce, in modo rudimentale ma efficace, come alcuni fenomeni o leggi della fisica difficili a comprendersi nelle tre dimensioni, potrebbero trovare una spiegazione più semplice e risultare addirittura banali e semplici se li immaginassimo avvenire in quattro o più dimensioni. Nel 1919 un matematico, il polacco Theodor Kaluza icona_biografia, suggerì che l’universo in cui viviamo avesse effettivamente quattro dimensioni spaziali. In questo spazio a quattro dimensioni le leggi dell’elettromagnetismo icona_approfondimento di Maxwell icona_biografia e della gravità di Einstein icona_biografia , che ci appaiono così diverse nelle nostre tre dimensioni, discenderebbero le une dalle altre. Il gravitone, il quanto del campo gravitazionale icona_glossario, e il fotone, il quanto del campo elettrico, così diversi per i nostri esperimenti tridimensionali, diventano parenti strettissimi nello spazio quadridimensionale di Kaluza. Ma se l'universo ha veramente più di tre dimensioni perché noi non riusciamo a visualizzarle? L'idea implicita nel lavoro di Kaluza e poi sviluppata in maniera più completa nel 1926 dal matematico svedese Oskar Klein icona_biografia - è che l'universo abbia dimensioni estese e dimensioni curve aggomitolate su se stesse icona_approfondimento .

Veniamo alla ipersfera quadridimensionale. La ipersfera in 4D è l’analogo nelle dimensioni superiori del cerchio in 2D e della sfera in 3D. Possiamo quindi usare l’analogia con i casi già considerati. Come uno spazio mono-dimensionale taglia il cerchio in una linea di dimensioni variabili, come lo spazio bi-dimensionale taglia la sfera in cerchi di raggio variabile, cosi lo spazio tridimensionale taglierà la ipersfera che lo attraversa in sfere di dimensioni variabili. Un ipersfera che transita nello spazio tridimensionale sarebbe da noi percepita come una sfera che nasce dal nulla , si espande e poi decresce fino a sparire. Questa è forse la migliore “visione” che possiamo avere nelle tre dimensioni di un’ipersfera.

ScienzaPerTutti_hypersphere_cross_3D

Una tecnica moderna per la rappresentazione geometrico-matematica di spazi e oggetti multi-dimensionali è quella delle Coordinate Parallele introdotte da Inselberg negli anni ottanta. Nelle Coordinate Cartesiane tradizionali tutti gli assi sono reciprocamente perpendicolari. Nel sistema delle Coordinate Parallele, tutti gli assi sono paralleli ed egualmente spaziati tra loro.

Questo consente, evidentemente, di rappresentare sul foglio bidimensionale serie di punti, linee, piani e superfici in spazi con qualunque numero di dimensioni. I web-nauti più interessati, e matematicamente dotati, possono approfondire l’argomento nelle referenze riportate alla fine della risposta (*).

Rappresentazioni in Coordinate Parallele di cubi e sfere multi-dimensionali

scienzapertutti_cubi_sfere_tridimensinali

Questa rappresentazione è molto semplice ed utile, ma non soddisfa la richiesta di “visualizzare” oggetti a più dimensioni nel nostro spazio tridimensionale. I tentativi di Hinton e Abbot sono ancora i più intuitivi ed apprezzabili dai non specialisti. Ai nostri web-nauti interessati all’argomento suggeriamo la lettura del libro di Michio Kaku Iperspace, quale abbiamo tratto alcune delle immagini riportate in questa risposta, e del libro di Banchoff, Thomas., Oltre la terza dimensione. Geometria, computer graphics e spazi multidimensionali, edito da Zanichelli.

Franco Luigi Fabbri – Fisico

(*) - A. Inselberg. n-dimensional graphics, part I--lines and iperplanes. Technical Report G320-2711, IBM Los Angeles Scientific Center, IBM Scientific Center, 9045 Lincoln Boulevard, Los Angeles (CA), 900435, 1981.

- A. Inselberg. The plane with parallel coordinates. The Visual Computer, 1:69--91, 1985.

- A. Inselberg and B. Dimsdale. Parallel Coordinates: A Tool for Visualizing Multivariate Relations, chapter 9, pages 199--233. Plenum Publishing Corporation, New York, 1991.

- A.Inselberg and B. Dimsdale. Multidimensional lines 1: Representation. SIAM Journal on Applied Mathematics, 54(2):559--577, 1994.

- Tutorial su http://www.math.tau.ac.il/~aiisreal/


 

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