0034. Sento parlare talvolta di frattali. Cosa sono? A cosa servono?

espertomini

 Sento parlare talvolta di frattali. Cosa sono? A cosa servono? (Sergio Todeschi)


sem_esperto_verde

Cosa è un frattale e a cosa serve? Domanda da 100 milioni di dollari: non è escluso che sia una presa in giro. Per fortuna non è datata 1 aprile.

Cosa sono i frattali? La matematica tradizionale amava le forme semplici: le linee rette, i quadrati, i poligoni regolari il pentagono, l'esagono, l'ottagono; le circonferenze e le parabole, le sfere, i cubi, i cerchi, gli ellissi e via discorrendo. In natura invece le figure regolari sono delle pure eccezioni: dove in natura si trova un cubo, o una sfera perfetta? La natura si è sempre divertita a giocare con l'uomo. Gli alberi, le nubi, le felci, i cavolfiori, i fulmini e le saette, le montagne e le rocce, le coste dei Paesi e delle nazioni: tutto appare irregolare, spigoloso ... frattale. Nelle figure allegate propongo alcune foto di frattali naturali. Da un punto di vista formale non esiste una definizione onnicomprensiva di frattale. Una figura frattale (dal latino fractus) è una figura frastagliata, spezzettata, spigolosa. Benoit Mandelbrot icona_minibiografia ne dà una serie di definizioni: - nel 1978: una forma o una figura frammentata, spezzata, fortemente discontinua; - nel 1982: un insieme per il quale la dimensione secondo Hausdorff icona_quantibio e Besicovitch icona_quantibio eccede rigorosamente la dimensione topologica; - nel 1986: una forma fatta di parti che sono in qualche modo simili al tutto (1986). Nessuna è in grado di esaurire completamente tutti i casi possibili. Quella del 1982 è tecnica e rigorosamente matematica, riservata a coloro che masticano tanta matematica avanzata e pertanto va lasciata da parte: è comunque la sola che permette di definire "operativamente" un insieme, una forma, una curva, una superficie, un volume frattale. Tutti sanno tracciare dei ghirigori forsennati su un pezzo di carta; in natura ci sono moltissimi esempi di oggetti apparentemente di forma "complicata". La matematica e la geometria prima di Mandelbrot non era in grado di descrivere oggetti complessi. Ad esempio è facile calcolare un volume: base per altezze e variazioni sul tema; ma si provi a calcolare il volume "esatto" di un albero, o di un cespuglio o di una spugna, o del sistema dei bronchi di un polmone. Si cerchi di misurare la lunghezza delle coste della Norvegia con tutte le insenature, le penisole, le isole e isolette ed i fiordi! Il calcolo è sí facile ma complicato, complesso. La geometria frattale mostra che, almeno spesso se non sempre, è possibile costruire oggetti (che Mandelbrot chiama insiemi) complessi partendo da regole di costruzione molto semplici; altrettanto, la geometria frattale è in grado di fornire la lunghezza della costa della Norvegia, purchè si dica a priori quale è la lunghezza del righello con cui la si vuole misurare: la lunghezza delle coste della Norvegia "non ha un valore esatto" ma la si può misurare con un "righello" di lunghezza d=100 km, d=10 km, ecc.: le coste della Norvegia hanno una dimensione frattale D=1,52 ± 0,01. La geometria di Mandelbrot fornisce la formula che dice automaticamente quanto è lunga la costa quando misurata con d=100 km o con d=30 km e cosí via. Aristotile diceva che il punto ha dimensione zero, la linea ha dimensione 1, la superficie ha dimensione 2, il volume ha dimensione 3. Mandelbrot ha scoperto che linee spezzettate e contorte possono avere dimensione frattale D non intera più grande di 1, superfici complesse ed involute possono avere dimensione frattale D più grande di 2 e così via.

A cosa servono i frattali? A cosa serve la matematica? La geometria? A cosa servono le derivate? Gli integrali? Il calcolo differenziale? Servono a calcolare, a descrivere la natura ed i fenomeni: in poche parole a descrivere e simulare la natura. La geometria frattale espande la potenza della geometria classica inventata da Euclide icona_minibiografia attorno al 300 avanti Cristo, alle dimensioni non intere, introducendo una varietà enorme di applicazioni. La geometria frattale sa classificare le coste ed i confini degli Stati in funzione del loro grado di "frattura", di "spigolatura": dalle coste del Sudafrica, ai confini della Germania, alle coste dell'Inghilterra fino a quelle della Norvegia. Va detto che i frattali non si sarebbero imposti in modo cosí imperioso se non ci fossero i grandi calcolatori; infatti occorrono memorie molto ampie per poter fare le simulazioni più sofisticate ed interessanti.

La geometria frattale non sa prevedere "dove" può cadere un fulmine, ma può prevedere quanto è frastagliato. Può simulare le nubi e sa giustificare come un uragano non sia un evento eccezionale ma un evento la cui probabilità di avvenire rientra nelle regole del caso meteorologico. Mostra come lo stesso mitologico "Diluvio Universale" (effetto Noè) o il succedersi dei sette anni di vacche grasse e dei sette anni di vacche magre (effetto Giuseppe) siano eventi che rientrano della casualità della meteorologia. Alcuni arditi, giungono persino a previsioni "evoluzionistiche". Mostrano come, partendo da regole semplicissime, introducendo dei "geni matematici astratti" che possano semplicemente mutare a caso, con meno che 30 mutazioni si possono ottenere figure simili ad insetti o pipistrelli partendo da una struttura che è semplicemente una Y, mediante un processo di "copia e incolla": un insieme di 3 segmenti di misura diversa (inizialmente 2 rami uguali ad un certo angolo; poi permettendo lunghezze diverse, ovvero angoli diversi, ovvero che i segmenti che per caso vadano verso il basso o verso destra piuttosto che verso sinistra, possano essere più lunghi o più corti ..). E dobbiamo pensare che la specie umana ha avuto a disposizione qualche decina di miliardi di anni per subire mutazioni e non solo una trentina di opportunità. I frattali permettono di affrontare problemi di fronte ai quali la matematica tradizionale si doveva arrestare; permette di affrontare il problema di capire e descrivere l'architettura che governa la natura; come è distribuita geometricamente la materia planetaria nello spazio universale. Permette di intravedere nuove regole di semplicità unificante in una realtà dominata dalla complessità, senza tuttavia giungere al riduzionismo scientifico nel quale tutto è costituito da quark, leptoni e da mattoni elementari della materia. In ultima analisi, i frattali forniscono un nuovo strumento matematico (o geometrico) più potente di quelli disponibili prima della loro invenzione.

Sergio Ratti- Fisico


scienzapertutti_fiume_yemen_frattali

scienzapertutti_crepa_ghiaccio

Strutture frattali: un fiume nello Yemen del sud e una crepa in una lastra di ghiaccio.

Per saperne di più:

Benoit Mandelbrot: Gli oggetti frattali: forma, caso e dimensione (Einaudi, Torino, 1987)

Benoit Mandelbrot; The fractal geometry of Nature (Freeman, New York, 1983);

John Briggs: L’Estetica del Caos, avventura nel mondo dei frattali: scienza, arte e natura (Red Edizioni, Como, 1993)

F. Hausdorff e A.S. Besicovich: Matematiche Annalen: vol. CX, pag. 321 (1935).

 

 

© 2002 - 2019 ScienzaPerTutti - Grafica Francesca Cuicchio Ufficio Comunicazione INFN - powered by mspweb

PRIVACY POLICY

NOTA! Questo sito utilizza i cookie e tecnologie simili.

Se non si modificano le impostazioni del browser, l'utente accetta. Per saperne di piu'

Approvo

Informativa sulla Privacy e Cookie Policy

Ultima modifica: 28 maggio 2018

IL TITOLARE

L’INFN si articola sul territorio italiano in 20 Sezioni, che hanno sede in dipartimenti universitari e realizzano il collegamento diretto tra l'Istituto e le Università, 4 Laboratori Nazionali, con sede a Catania, Frascati, Legnaro e Gran Sasso, che ospitano grandi apparecchiature e infrastrutture messe a disposizione della comunità scientifica nazionale e internazionale e 3 Centri Nazionali dedicati, rispettivamente, alla ricerca di tecnologie digitali innovative (CNAF), all’alta formazione internazionale (GSSI) ed agli studi nel campo della fisica teorica (GGI). Il personale dell'Infn conta circa 1800 dipendenti propri e quasi 2000 dipendenti universitari coinvolti nelle attività dell'Istituto e 1300 giovani tra laureandi, borsisti e dottorandi.

L’INFN con sede legale in Frascati, Roma, via E. Fermi n. 40, Roma, email: presidenza@presid.infn.it, PEC: amm.ne.centrale@pec.infn.it in qualità di titolare tratterà i dati personali eventualmente conferiti da coloro che interagiscono con i servizi web INFN

IL RESPONSABILE DELLA PROTEZIONE DEI DATI PERSONALI NELL’INFN

Ai sensi degli artt. 37 e ss. del Regolamento UE 2016/679 relativo alla protezione delle persone fisiche con riguardo al trattamento dei dati, l’INFN con deliberazione del Consiglio Direttivo n. 14734 del 27 aprile 2018 ha designato il Responsabile per la Protezione dei Dati (RPD o DPO).

Il DPO è contattabile presso il seguente indirizzo e.mail: dpo@infn.it

Riferimenti del Garante per la protezione dei dati personali: www.garanteprivacy.it

Il TRATTAMENTO DEI DATI VIA WEB

L'informativa è resa solo per i siti dell'INFN e non anche per altri siti web eventualmente raggiunti dall'utente tramite link.

Alcune pagine possono richiedere dati personali: si informa che il loro mancato conferimento può comportare l’impossibilità di raggiungere le finalità cui il trattamento è connesso

Ai sensi dell'art. 13 del Regolamento UE 2016/679, si informano coloro che interagiscono con i servizi web dell'Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, accessibili per via telematica sul dominio infn.it, che il trattamento dei dati personali effettuato dall'INFN tramite web attiene esclusivamente ai dati personali acquisiti dall'Istituto in relazione al raggiungimento dei propri fini istituzionali o comunque connessi all’esercizio dei compiti di interesse pubblico e all’esercizio di pubblici poteri cui è chiamato, incluse le finalità ricerca scientifica ed analisi per scopi statistici.

In conformità a quanto stabilito nelle Norme per il trattamento dei dati personali dell’INFN e nel Disciplinare per l’uso delle risorse informatiche nell’INFN, i dati personali sono trattati in modo lecito, corretto, pertinente, limitato a quanto necessario al raggiungimento delle finalità del trattamento, per il solo tempo necessario a conseguire gli scopi per cui sono stati raccolti e comunque in conformità ai principi indicati nell’art. 5 del Regolamento UE 2016/679.

Specifiche misure di sicurezza sono osservate per prevenire la perdita dei dati, usi illeciti o non corretti ed accessi non autorizzati.

L’INFN tratta dati di navigazione perché i sistemi informatici e le procedure software preposte al funzionamento di questo sito web acquisiscono, nel corso del loro normale esercizio, alcuni dati la cui trasmissione è prevista dai protocolli di comunicazione impiegati. Questi dati - che per loro natura potrebbero consentire l'identificazione degli utenti - vengono utilizzati al solo fine di ricavare informazioni statistiche anonime sull'uso del sito e per controllarne il corretto funzionamento. Gli stessi potrebbero essere utilizzati per l'accertamento di responsabilità in caso di compimento di reati informatici o di atti di danneggiamento del sito; salva questa eventualità, non sono conservati oltre il tempo necessario all'esecuzione delle verifiche volte a garantire la sicurezza del sistema.

UTILIZZO DI COOKIE

Questo sito utilizza esclusivamente cookie “tecnici” (o di sessione) e non utilizza nessun sistema per il tracciamento degli utenti.

L'uso di cookie di sessione è strettamente limitato alla trasmissione di identificativi di sessione (costituiti da numeri casuali generati dal server) necessari per consentire l'esplorazione sicura ed efficiente del sito. Il loro uso evita il ricorso ad altre tecniche potenzialmente pregiudizievoli per la riservatezza della navigazione e non prevede l'acquisizione di dati personali dell'utente.

DIRITTI DEGLI INTERESSATI

Gli interessati hanno il diritto di chiedere al titolare del trattamento l'accesso ai dati personali e la rettifica o la cancellazione degli stessi o la limitazione del trattamento che li riguarda o di opporsi al trattamento secondo quanto previsto dagli art. 15 e ss. del Regolamento UE 2016/679. L'apposita istanza è presentata contattando il Responsabile della protezione dei dati presso l’indirizzo email: dpo@infn.it.

Agli interessati, ricorrendone i presupposti, è riconosciuto altresì il diritto di proporre reclamo al Garante quale autorità di controllo.

Il presente documento, pubblicato all'indirizzo: http://www.infn.it/privacy costituisce la privacy policy di questo sito, che sarà soggetta ad aggiornamenti.