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0170. Che cosa sono i tensori?

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Cosa sono i tensori? Che significato hanno le 9 componenti del tensore d'inerzia? (Giuseppe Cigala)(2065)

 

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I tensori sono la naturale generalizzazione del concetto di vettore. Consideriamo uno spazio vettoriale ad N coordinate (ad esempio l'usuale spazio tridimensionale delle coordinate spaziali), sul quale possiamo effettuare operazioni come rotazioni e traslazioni, che defininiamo genericamente trasformazioni; in tali operazioni la distanza tra due punti arbitrari rimane inalterata. Sotto tali trasformazioni invece le N componenti che definiscono un vettore non rimangono inalterate ma si trasformano in un modo ben preciso. In generale, possiamo affermare che un generico tensore è una grandezza le cui componenti si trasformano come il prodotto delle componenti di un certo numero di vettori.

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Consideriamo ad esempio il generico prodotto delle componenti di due vettori (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) in uno spazio a 3 dimensioni: in totale avremo 9 combinazioni, che possiamo rappresentare come una matrice 3x3. Questa matrice è un generico tensore ad 9 componenti. Generalizzando, in questo spazio possiamo costruire tensori a 27componenti dal prodotto di 3 vettori, e così via. E' spesso utile suddividere ulteriormente le componenti di un tensore generico sfruttando proprietà di simmetria, ottenendo in tal modo i cosiddetti tensori irriducibili. Ad esempio, nel caso precedente (3x3), possiamo identificare tre combinazioni irriducibili:

a) il prodotto scalare (x1*x2+y1*y2+z1*z2), che è un tensore completamente invariante con una sola componente indipendente;

b) una matrice antisimmetrica, che ha solo 3 componenti indipendenti, le quali a loro volta corrispondono alle 3 componenti del prodotto vettoriale dei due vettori;

c) una matrice simmetrica a traccia nulla con 5 componenti indipendenti.

La somma di tutte le componenti indipendenti corrisponde alle 9=3x3 componenti iniziali. Il tensore d'inerzia T_{ij} è un tensore simmetrico che permette di descrivere in modo generale l'energia di un sistema tridimensionale rigido in rotazione: E = (1/2) omega_i * T_{ij} * omega_j, dove omega_i sono le componenti della velocità angolare in un qualsiasi sistema di riferiemento solidale con il corpo, con origine nel centro di massa. Dal punto di vista della struttura tensoriale, le componenti questo tensore si trasformano proprio come il prodotto di due vettori. Essendo simmetrico, solo 6 delle 9 componenti del tensore sono indipendenti. Queste corrispondono ai casi a) e b) descritti sopra. Dal punto di vista fisico, la componente i-j (o j-i) del tensore descrive la distribuzione della massa del corpo pesata dal prodotto delle distanze dall'origine lungo gli assi i e j nel suddetto sistema di riferimento.

Gino Isidori – Fisico


 

 
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