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0365. Con una funzione trascendente di Eulero si può estendere il calcolo del fattoriale ai numeri complessi?

Ho letto che con una funzione trascendente di Eulero si può estendere il calcolo del fattoriale ai numeri complessi: potreste spiegarmi come accade? (Alessandro Roncari) (2244_5291

sem_esperto_rossoIl fattoriale icona_esperto[45] di un numero naturale icona_glossario si definisce mediante le formule:

0! = 1, 1! = 1, e per n ≥ 2, n! = n · (n-1) · …1

oppure mediante definizione ricorsiva:

0! = 1, n! = n · (n-1)! per n ≥ 1          (1).

Eulero icona_biografia, cercando di interpolare n! per valore di n non intero icona_glossario, cioè di definire il fattoriale di un qualsiasi numero reale icona_glossario positivo, introdusse la funzione:

ScienzaPerTutti_formula_gamma_eulerodetta funzione gamma.

Si può dimostrare facilmente che Γ(n + 1) = n! per ogni numero naturale icona_glossario n.

Per questo la si definisce:

ScienzaPerTutti_fattoriale_come_gamma_eulero(2)

Si dimostra che 0!=1 e x! = x • (x –1)! , quindi la (2) può venire considerata una estensione della (1). Per esempio, sapendo che dal calcolo diretto risulta:

ScienzaPerTutti_gamma_eulerosi può ottenere:

ScienzaPerTutti_valori_fattoriali_funzione_gamma_eulero

La formula (2) si può estendere ai numeri complessi icona_glossario ix. Anche in campo complesso valgono le formule 0!=1 e x! = x • (x –1)!

ScienzaPerTutti_grafico_fattoriali

Irene Guagnini – Docente di matematica


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