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0343. Cosa sono il calcolo differenziale assoluto e la derivazione covariante?

 

espertomini

Vorrei sapere se il calcolo differenziale assoluto (o tensoriale), è il calcolo differenziale associato alla geometria non euclidea di Riemann. Inoltre vorrei sapere cos'è la derivazione covariante (Simone Cornaggia) (343_2203_5554)

 

sem_esperto_rossoLa risposta alla prima parte e' affermativa: il calcolo che poi e' stato chiamato calcolo tensoriale icona_glossario è in realtà nato con il nome di Calcolo Differenziale Assoluto per opera di Tullio Levi Civita icona_biografia e G. Ricci Curbastro icona_biografia. L'idea di questi matematici era proprio quella di costruire un calcolo differenziale sulle varietà, generalizzando l'ordinario calcolo differenziale ben definito sugli spazi euclideiicona_glossario , o meglio, su spazi che hanno una struttura vettoriale icona_glossario soggiacente. Infatti il problema è proprio questo: la difficoltà nel generalizzare il calcolo differenziale icona_glossario sta nel fatto che le varietà differenziabili icona_glossario, in generale, non possiedono la struttura di spazio vettoriale, struttura necessariase si vuole definire, ad esempio, una sorta di derivata, dovendo operare sugli elementi dello spazio. Ebbene la problematica si risolve andando a cercare, negli spazi euclidei, quali sono quelle proprietà del calcolo differenziale che si "possono leggere" anche in coordinate locali, o meglio che hanno un carattere di invarianza rispetto al cambiamento di coordinate. Infatti ricordiamo che per operare sulle varietà è necessario operare in coordinate locali, ma occorre anche verificare sempre che le definizioni date siano in un certo senso indipendenti dal sistema di coordinate scelte. Questi matematici hanno quindi cercato di estendere le costruzioni del calcolo differenziale ordinario andando a creare un calcolo su varietà che risulta "indipendente" dalla scelta del sistema di coordinate locali: in realtà completamente indipendente chiaramente no (non lo è nemmeno in R^n), ma comunque sia si sa come questo calcolo cambia al cambiare del riferimento. Il modo in cui questo calcolo cambia è esattamente quello in cui cambia nel caso ordinario (se si cambiano coordinate in R^n...). Ecco la nascita del Calcolo tensoriale, per il quale uno degli oggetti più importanti sta nella definizione giusta e indipendente di derivazione di una funzione o di un campo vettoriale, che poi si estende alla derivazione dei tensori, ovvero nella definizione di derivata covariante. Non è il caso di entrare nel dettaglio della derivazione covariante, ma se uno comincia a studiare rudimenti del calcolo tensoriale, scopre che la derivazione covariante dei tensori è la più naturale di tutte. Questo è infatti il modo di derivare un tensore che generalizza quello ordinario e che è, come sempre, "indipendente" dal sistema di coordinate scelto. Risulta ovviamente immediatamente evidente l'importanza che il calcolo tensoriale ha in Fisica: tutta questa puntualizzazione dell'indipendenza dai sistemi di coordinate scelti afferma che una grandezza fisica ben definita sulla varietà non sara' altro che una grandezza tensoriale. Non a caso la struttura matematica dell'intera Teoria della relatività icona_glossario : E = mc2 , di Albert Einstein icona_biografia icona_chimica , e' il Calcolo tensoriale. Per i nostri web-nauti più interessati suggerisco un bellissimo e facile testo introduttivo alla problematica: “B. Spain, Calcolo tensoriale, Edizioni Cremonese” .

Luca Lussardi – Matematico


 

 
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