Tutte le risposte

0238. Che cos'è l'ellisse d'inerzia?

espertomini

Cos'è in breve l'ellisse d'inerzia? (Rita) (2117)


sem_esperto_verde

L’ellisse d’inerzia racchiude alcune proprietà della “Geometria delle Masse”, un capitolo della meccanica razionale che si occupa di baricentri, di momenti statici, di momenti d’inerzia e delle relative applicazioni. Per comprendere il significato e le proprietà dell’ellisse d’inerzia occorre fare alcune premesse sulle grandezze geometriche citate.

Il baricentro di un sistema di masse icona_esperto[122] si ottiene pensando di applicare a tali masse, pensate come puntiformi, un sistema di forze parallele; queste forze ammettono una risultante che passa per un punto fisso (il baricentro) al variare della direzione secondo cui vengono a trovarsi le forze parallele, se le si fa ruotare intorno ai rispettivi punti di applicazione. Assegnata poi una generica retta r, e misurate le distanze y1, y2, … delle masse dalla retta r secondo la direzione y prefissata, si definisce momento statico del sistema di masse la somma dei prodotti delle masse per le rispettive distanze y. Infine, se rispetto alla stessa retta r, si calcola la somma dei prodotti delle masse per i quadrati delle distanze, si ottiene il momento d’inerzia del sistema di masse rispetto alla retta r.

Se ora si considera il baricentro del sistema di masse, si fa passare la retta r per tale punto, e la si fa ruotare in modo arbitrario, si ottiene per ogni posizione della retta il rispettivo momento d’inerzia. Dividendo ciascun momento d’inerzia così ottenuto per la massa totale ed estraendone la radice quadrata si ricava il raggio d’inerzia o giratore associato a ciascun momento d’inerzia.

Pensando di disegnare, a partire dal baricentro, tutti i raggi giratori corrispondenti a ciascun momento di inerzia, si ottiene appunto una figura geometrica coincidente con l’ellisse d’inerzia, nei sistemi piani, e con l’ellissoide d’inerzia in quelli spaziali. I raggi giratori minimi e massimi sono perpendicolari alle rette cui corrispondono i valori minimi e massimi dei momenti d’inerzia.

E’ poi da precisare che il sistema di masse può essere un sistema puntiforme oppure continuo; in questo secondo caso, i concetti precedenti si intendono applicati a figure piane o a corpi solidi comunque dotati di densità di massa, cioè di massa per unità di superficie o di volume. Sia nel primo che nel secondo caso, se le masse o le loro densità sono unitarie, rimangono le distribuzioni di superficie o di volume a caratterizzare topologicamente i sistemi considerati, In altri termini, due superfici equivalenti, di forma triangolare o circolare, sottendono proprietà distinte in termini di geometria delle masse, nel senso che sono diverse le rispettive ellissi d’inerzia.

Un settore di applicazione di notevole importanza dei concetti esposti è la Scienza delle Costruzioni. Se, ad esempio, si considera una trave di acciaio avente sezione ad I, incastrata tra due opposte pareti murarie, la disposizione secondo la quale viene posta in opera (cioè l’assetto della trave nello spazio) è determinata dalla possibilità di opporre il massimo momento di inerzia (asse maggiore dell’ellisse d’inerzia in posizione verticale) alla tendenza all’inflessione della trave, sotto il peso proprio e dei carichi portati, in modo da ottenere una deflessione (o freccia) in mezzeria compatibile con la destinazione d’uso della trave: tale freccia si dimostra infatti essere inversamente proporzionale al momento d’inerzia, il cui valore conviene quindi massimizzare. Così operando, si raggiungono tensioni normali ai bordi superiore e inferiore della sezione di mezzeria compatibili con le resistenze a trazione e a compressione dal materiale impiegato; tali tensioni sono ancora inversamente proporzionali al momento d’inerzia. Le tensioni tangenziali, massime ai bordi vincolati della trave, sono poi proporzionali al momento statico della sezione e anch’esse devono essere compatibili con la resistenza tagliante offerta dal materiale. E’ quindi evidente, nel contesto teorico della meccanica razionale e della scienza delle costruzioni, l’esistenza di una connessione fra sistema di masse, in particolare la loro distribuzione piana o spaziale ed ellisse o ellissoide d’inerzia associati. A questo fa da contrappunto l’atteggiamento della fisica, essenzialmente fondato sulla sperimentazione e non sulla modellistica matematica, posta a base delle due precedenti discipline. In fisica, la massa si presenta come una delle quattro grandezze fondamentali indipendenti, insieme alla lunghezza, al tempo e alla carica che il fisico interpreta come grandezze misurabili per via sperimentale. La massa si può definire da un punto di vista operativo impiegando il principio della bilancia a braccia uguali: questa rimane in equilibrio se due corpi posti sui due piatti della bilancia hanno la stessa massa, a prescindere dal luogo in cui viene effettuato l’esperimento. Se una delle due masse è composta da unità campione, la seconda si può ottenere come multiplo della massa campione. Così facendo si ottiene la massa “gravitazionale”icona_glossario . Se invece si utilizzano, per via dinamica, la legge d’inerzia, la quantità di moto e il principio di conservazione della quantità di moto, si perviene ad una ridefinizione della massa che è detta appunto “inerziale”.

Considerando infatti la quantità di moto di una particella, definita come prodotto della sua massa per la sua velocità, nell’ipotesi che la massa sia costante, si può esprimere la variazione della quantità di moto della particella in un dato intervallo di tempo, come prodotto della massa per la variazione della velocità. Nel caso in cui si consideri un sistema di particelle e, in particolare, se queste sono solo due, la somma delle due quantità di moto icona_glossario in un sistema isolato è costante, per cui la variazione dell’una è uguale e opposta alla variazione dell’altra. Se ne deduce che se la massa della prima particella è assunta come massa di riferimento, la seconda si può ottenere dalla prima calcolando il rapporto delle due variazioni di velocità e moltiplicandolo per la prima massa cambiata di segno; tale quantità è definita massa inerziale icona_glossario ed è noto dalla fisica che i due metodi di definizione della massa testè citati conducono a risultati uguali. Si nota quindi come la parola “inerzia” utilizzata nella definizione dell’ellisse sia da distinguere dall’aggettivazione “inerziale” impiegata nella definizione della massa, trattandosi di linee di ragionamento del tutto distinte, riferite peraltro a discipline fondate su presupposti di tipo essenzialmente matematico nel primo caso (la meccanica razionale e la scienza delle costruzioni) e di tipo sperimentale nel secondo (la fisica).

Esiste tuttavia un’area di conciliazione fra i due atteggiamenti, nel senso che la modellistica matematica offerta dalla Scienza delle Costruzioni trova applicazione nei corpi reali, sui quali sono perseguibili sperimentazioni di laboratorio; per cui, nella fattispecie, le proprietà intrinseche dell’ellisse “d’inerzia” delle sezioni delle travi si applicano a sistemi continui di masse, siano esse “gravitazionali” o “inerziali”, rappresentate ad esempio dalle travi stesse. Ciò permette di progettare e costruire su basi razionali e con adeguati margini di sicurezza tutti i manufatti di cui abbiamo necessità, dagli edifici, agli aeromobili, alle protesi biomeccaniche, ecc., confortati dalla certezza della riproducibilità sperimentale dei fenomeni meccanici previsti in sede di speculazione teorica. Un esempio molto efficace in questo senso è costituito dal caso della trave caricata di punta. Se prendiamo una trave di acciaio di sezione ad I, lunga e stretta, o come si suol dire “snella” e la mettiamo in posizione verticale, incernierandola alle due basi terminali in modo che non possa spostarsi e caricandola lungo l’asse con un forza di intensità crescente, la trave per un determinato valore della forza sbanda lateralmente, inflettendosi nel piano in cui è minimo il momento d’inerzia della sua sezione (ovvero il rispettivo raggio giratore dell’ellisse d’inerzia della sezione trasversale). L’esperienza di laboratorio appena descritta, rispecchia quanto previsto per via teorica da Eulero icona_minibiografia nella trattazione della trave caricata di punta e costituisce una base di lavoro indispensabile per progettare travi snelle soggette a carico assiale. In questo caso la distribuzione della massa (inerziale) della trave si accompagna a valori determinati dei momenti d’inerzia della sezione trasversale e quindi ad una ben precisa ellisse d’inerzia della sezione. Il momento di inerzia minimo risulta essere collegato in modo direttamente proporzionale al valore del carico critico euleriano, di importanza fondamentale nella progettazioni di travi così caricate e sottende la connessione (o relazione) fra i punti di vista teorico e sperimentale, impliciti nella domanda della lettrice.

Carmelo Majorana - Fisico


 

 
Tags: ,
Utilizza il filtro dei tags anche digitando le lettere della parola che stai cercando

© 2002 - 2018 ScienzaPerTutti - Grafica Francesca Cuicchio Ufficio Comunicazione INFN - powered by mspweb

NOTA! Questo sito utilizza i cookie e tecnologie simili.

Se non si modificano le impostazioni del browser, l'utente accetta. Per saperne di piu'

Approvo

Informativa sulla Privacy e Cookie Policy

Ultima modifica: 28 maggio 2018

IL TITOLARE

L’INFN si articola sul territorio italiano in 20 Sezioni, che hanno sede in dipartimenti universitari e realizzano il collegamento diretto tra l'Istituto e le Università, 4 Laboratori Nazionali, con sede a Catania, Frascati, Legnaro e Gran Sasso, che ospitano grandi apparecchiature e infrastrutture messe a disposizione della comunità scientifica nazionale e internazionale e 3 Centri Nazionali dedicati, rispettivamente, alla ricerca di tecnologie digitali innovative (CNAF), all’alta formazione internazionale (GSSI) ed agli studi nel campo della fisica teorica (GGI). Il personale dell'Infn conta circa 1800 dipendenti propri e quasi 2000 dipendenti universitari coinvolti nelle attività dell'Istituto e 1300 giovani tra laureandi, borsisti e dottorandi.

L’INFN con sede legale in Frascati, Roma, via E. Fermi n. 40, Roma, email: presidenza@presid.infn.it, PEC: amm.ne.centrale@pec.infn.it in qualità di titolare tratterà i dati personali eventualmente conferiti da coloro che interagiscono con i servizi web INFN

IL RESPONSABILE DELLA PROTEZIONE DEI DATI PERSONALI NELL’INFN

Ai sensi degli artt. 37 e ss. del Regolamento UE 2016/679 relativo alla protezione delle persone fisiche con riguardo al trattamento dei dati, l’INFN con deliberazione del Consiglio Direttivo n. 14734 del 27 aprile 2018 ha designato il Responsabile per la Protezione dei Dati (RPD o DPO).

Il DPO è contattabile presso il seguente indirizzo e.mail: dpo@infn.it

Riferimenti del Garante per la protezione dei dati personali: www.garanteprivacy.it

Il TRATTAMENTO DEI DATI VIA WEB

L'informativa è resa solo per i siti dell'INFN e non anche per altri siti web eventualmente raggiunti dall'utente tramite link.

Alcune pagine possono richiedere dati personali: si informa che il loro mancato conferimento può comportare l’impossibilità di raggiungere le finalità cui il trattamento è connesso

Ai sensi dell'art. 13 del Regolamento UE 2016/679, si informano coloro che interagiscono con i servizi web dell'Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, accessibili per via telematica sul dominio infn.it, che il trattamento dei dati personali effettuato dall'INFN tramite web attiene esclusivamente ai dati personali acquisiti dall'Istituto in relazione al raggiungimento dei propri fini istituzionali o comunque connessi all’esercizio dei compiti di interesse pubblico e all’esercizio di pubblici poteri cui è chiamato, incluse le finalità ricerca scientifica ed analisi per scopi statistici.

In conformità a quanto stabilito nelle Norme per il trattamento dei dati personali dell’INFN e nel Disciplinare per l’uso delle risorse informatiche nell’INFN, i dati personali sono trattati in modo lecito, corretto, pertinente, limitato a quanto necessario al raggiungimento delle finalità del trattamento, per il solo tempo necessario a conseguire gli scopi per cui sono stati raccolti e comunque in conformità ai principi indicati nell’art. 5 del Regolamento UE 2016/679.

Specifiche misure di sicurezza sono osservate per prevenire la perdita dei dati, usi illeciti o non corretti ed accessi non autorizzati.

L’INFN tratta dati di navigazione perché i sistemi informatici e le procedure software preposte al funzionamento di questo sito web acquisiscono, nel corso del loro normale esercizio, alcuni dati la cui trasmissione è prevista dai protocolli di comunicazione impiegati. Questi dati - che per loro natura potrebbero consentire l'identificazione degli utenti - vengono utilizzati al solo fine di ricavare informazioni statistiche anonime sull'uso del sito e per controllarne il corretto funzionamento. Gli stessi potrebbero essere utilizzati per l'accertamento di responsabilità in caso di compimento di reati informatici o di atti di danneggiamento del sito; salva questa eventualità, non sono conservati oltre il tempo necessario all'esecuzione delle verifiche volte a garantire la sicurezza del sistema.

UTILIZZO DI COOKIE

Questo sito utilizza esclusivamente cookie “tecnici” (o di sessione) e non utilizza nessun sistema per il tracciamento degli utenti.

L'uso di cookie di sessione è strettamente limitato alla trasmissione di identificativi di sessione (costituiti da numeri casuali generati dal server) necessari per consentire l'esplorazione sicura ed efficiente del sito. Il loro uso evita il ricorso ad altre tecniche potenzialmente pregiudizievoli per la riservatezza della navigazione e non prevede l'acquisizione di dati personali dell'utente.

DIRITTI DEGLI INTERESSATI

Gli interessati hanno il diritto di chiedere al titolare del trattamento l'accesso ai dati personali e la rettifica o la cancellazione degli stessi o la limitazione del trattamento che li riguarda o di opporsi al trattamento secondo quanto previsto dagli art. 15 e ss. del Regolamento UE 2016/679. L'apposita istanza è presentata contattando il Responsabile della protezione dei dati presso l’indirizzo email: dpo@infn.it.

Agli interessati, ricorrendone i presupposti, è riconosciuto altresì il diritto di proporre reclamo al Garante quale autorità di controllo.

Il presente documento, pubblicato all'indirizzo: http://www.infn.it/privacy costituisce la privacy policy di questo sito, che sarà soggetta ad aggiornamenti.