Il fenomeno della superconduttività

7. Una spiegazione elegante della superconduttività

di Daniele Di Gioacchino

 

Esiste anche una spiegazione più elegante della superconduttivita’ basata su un concetto generale connesso alla simmetria di un sistema. Questa analisi fu intuita e sviluppata da Lev Landau nel 1947 (nobel 1962). Riguarda il fenomeno chiamato “rottura spontanea della simmetria”, Landau propose una descrizione fenomenologica indipendente dal meccanismo dettagliato che lo causa. E' alla base delle “transizioni di fase termodinamiche reversibili”, spiega molti fenomeni, in particolare il ferromagnetismo e la superconduttività ed è stato come esempio il paradigma per predire l’esistenza del bosone di “Higgs”.

Affronteremo l'argomento da un punto di vista generale, con particolare attenzione all'immagine fisica. La superconduttività come il magnetismo appare in una certa fase termodinamica e scompare in un’altra fase attraverso una transizione. Parliamo prima del magnetismo che presenta con maggiore facilità il concetto. Un ferromagnete perde la sua magnetizzazione sopra una certa temperature critica, ma la riacquista quando viene raffreddato. Il processo è una transizione di fase termodinamica reversibile presentabile con un diagramma di fase (simile a quella mostrata per un superconduttore in figura 5A).La sottostante causa di questo fenomeno è connesso con lo ’spin’ elettronico e il corrispondente momento magnetico. Interazioni magnetiche favoriscono l'allineamento degli spin, mentre fluttuazioni termiche tendono a rendere casuali le loro direzioni. Queste due tendenze opposte competono per il dominio e il risultato dipende dalla temperatura. Al di sopra della temperatura critica, le fluttuazioni termiche vincono e non c’è magnetizzazione netta. Sotto tale temperatura, l'interazione di spin vince e il sistema diventa un magnete. In un volume all'interno di un sistema macroscopico, lontano dai confini, il sistema NON ha una direzione preferenziale nello spazio, il sistema è “invariante per rotazioni”. Quando si magnetizza, tuttavia, il momento magnetico totale DEVE puntare lungo una direzione nello spazio. Diciamo che il sistema “rompe l'invarianza rotazionale SPONTANEAMENTE".

Il magnete si raffredda da una temperatura elevata e la distribuzione degli spin cambia come illustrato in figura 11. Inizialmente gli spin erano orientati ‘a caso’ nello spazio a causa dell’energia termica. Quando la temperatura diminuisce, in una regione qualsiasi, in modo casuale, cominciano ad allinearsi alcuni spin e iniziano a formare un gruppo che sopravvive per tempi molto brevi, in media la magnetizzazione totale è vicino a zero. Quando la temperatura scende ancora sotto un certo valore critico (Tc) avviene un accorpamento con un effetto a valanga e si forma un unico gruppo con spin orientati. La direzione finale della magnetizzazione viene scelta casualmente, essendo casuale la direzione di magnetizzazione scelta dal gruppo dove è iniziata la valanga. La valanga è più veloce in un sistema più grande e nel limite di un sistema infinito accade improvvisamente. Il rumore termico è sempre presente e le direzioni dei singoli spin fluttuano.

 

 

10-simmetria-rotta

Fig.11 Sviluppo della magnetizzazione spontanea con la diminuzione della temperatura. (A) alta temperatura, gli spin hanno un orientazione casuale. (B) temperatura in abbassamento, gli spin si allineano per formare raggruppamenti locali, ma il valore totale medio dello spin è ancora zero. (C) temperatura critica: si verifica una valanga verso un unico grande “gruppo” di spin allineati con un valore totale magnetico diverso da zero.

 

 

Ad alte temperature i singoli spin oscillano in maniera indipendente e il sistema campiona in breve tempo tutte le possibili direzioni. Quando un gruppo di spin con stessa orientazione inizia a formarsi, il sistema richiede più tempo per campionare gli stati corrispondenti alle rotazioni dell’intero gruppo. Infatti ciò richiede il movimento sincronizzato di un gran numero di spin e raramente accade per caso. Più grande è il gruppo, più raro diventa il moto per caso e la vita media di un gruppo aumenta esponenzialmente con il numero degli spin. Per un magnete con l'ordine del numero di Avogadro di spin (1023) cioè una mole di pochi grammi, questa vita è di gran lunga superiore alla età dell'universo, e quindi il sistema mostra la simmetria rotazionale “ROTTA”.

Landau (nobel 1962) insieme a Ginzburg (nobel 2003) svilupparono una teoria fenomenologica quantistica per spiegare la superconduttività (1940) e introdussero l'idea generale di "parametro ordine". Landau osservò che, il sistema dove è presente il magnetismo e/o la superconduttività diventa più "ordinato" rispetto a quello normale mentre si raffredda attraverso la temperatura di transizione. Quindi propone di definire una funzione chiamata “ordinatezza” del sistema attraverso un campo Φ chiamato ‘parametro ordine’, modellato considerando questa funzione proporzionale alla densità di magnetizzazione di un sistema magnetico, l’ordinatezza è ZERO sopra la temperatura critica, e NON ZERO sotto.

L'energia potenziale del sistema dipende dalla temperatura e avrà in funzione del ‘parametro d’ordine’ andamenti simili a quelli illustrati in figura 12

 

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 Fig.12. In equilibrio, il parametro d'ordine sta sul minimo di energia potenziale, la cui forma dipende dalla temperatura.

Come la temperatura diminuisce passando attraverso un valore critico, Tc, appaiono due minimi equivalenti, e il parametro d'ordine deve scegliere uno di loro, così spontaneamente si rompe la simmetria

 

 

Ad alte temperature avrà una forma parabolica con un unico minimo in cui Φ=0, (fig.12A), evidentemente questo andamento è “simmetrico” rispetto al parametro d’ordine. Quando la temperatura scende sotto il valore critico, Tc, l'energia potenziale sviluppa due minimi equivalenti, (fig.12B). Ora lo stato magnetico descritto da Φ deve scegliere in modo casuale uno dei due minimi e diventa differente da zero, acquista un valore. In tal modo, si ‘rompe spontaneamente la simmetria’.

Il valore di equilibrio del “parametro d’ordine”, Φ, riproduce il comportamento della magnetizzazione. Φ varia continuamente con la temperatura, ma la sua pendenza salta alla temperatura critica al valore zero (fig.12)

 

 

12-rottura-equilibrioFig.13 Rottura della simmetria in un sistema coerente:

diagramma di fase e parametro d’ordine

 

 

Ora consideriamo un aspetto importante per lo stato superconduttivo. Un sistema quantistico, è descritto da una funzione d’onda, il cui “quadrato” è la probabilità di quello stato. Quindi, la funzione d’onda che descriverà lo stato magnetico o superconduttore sarà proporzionale al parametro d’ordine, e sarà un numero complesso. Un qualsiasi angolo di fase darà sempre lo stesso valore del quadrato Φ, cioè la probabilità dello stato sarà invariante rispetto all’angolo Θ:

Φ=Re

 

L'energia potenziale avrà una forma tipo “fondo di una bottiglia” rispetto all’angolo di fase Θ, (fig.14) e ne sarà indipendente, cioè sarà simmetrico rispetto all’angolo Θ. 

 

13-energiapotenzialeFigura 14. L’energia potenziale con una rottura della simmetria per un sistema che possiede un parametro d'ordine complesso. Il potenziale è una figura di rotazione, a forma di fondo di una bottiglia, tracciata sul piano complesso del parametro d'ordine. Lo stato a minore energia potenziale sarà un qualunque punto del cerchio tratteggiato lungo il cerchio sul fondo più basso della bottiglia, per esempio possono essere il punto A o B. Esiste un modo chiamato “di Goldstone” che è uno stato eccitato nel quale il parametro d'ordine non è uniforme nello spazio, ma corre intorno al cerchio tratteggiato come uno si muove nello spazio

 

 

Lo stato di equilibrio del sistema giacerà rispetto al potenziale sul cerchio tratteggiato indicato in figura. Ogni punto sul cerchio è un candidato per lo stato di equilibrio, ma solo uno può essere realizzato, diciamo il punto A quando il sistema transisce. La scelta di questo valore “rompe spontaneamente l'invarianza” perché viene fissato arbitrariamente un particolare angolo di fase Θ. Nello stato di equilibrio, il parametro d’ordine avrà quindi il valore A in tutti i punti dello spazio ma il sistema per esempio, poteva scegliere il punto B con un altro angolo di fase.

In generale in un sistema possono esistere anche stati eccitati con più alta energia, dove l'angolo di fase si muove da A a B quando si cambia posizione nello spazio. Per esempio una variazione lungo l'asse x fa corrispondere una variazione lungo il cerchio Θ e questo corrisponde a una eccitazione (l’effetto fu scoperto da Jeffrey Goldstone). La forma dell’energia potenziale è invariata, ma l’energia totale e aumentata a causa della variazione dell’angolo di fase Θ. Goldstone dimostrò che quando una simmetria è rotta spontaneamente, apparirà uno stato eccitato.

Questa eccitazione venne chiamata "modo di Goldstone", la cui nascita è espressione della rottura spontanea della simmetria.

Se consideriamo un magnete, la simmetria rotta è la “rotazione” e il “modo di Goldstone” saranno “onde di spin”; in un solido la simmetria rotta è la “traslazione” e il “modo di Goldstone” saranno i “fononi (vibrazioni)”, questo accadrà anche per l’elio liquido superfluido.

Cosa succede per la superconduttività?

Nasce un parametro d’ordine con un valore definito, “ma” l’eccitazione cioè il “modo di Goldstone” non è presente!

Che accade?

Il superconduttore ed elio liquido superfluido sono entrambi descritti da un parametro ordine complesso, Φ, come discusso, esso corrisponde alla funzione d'onda di un sistema condensato di Bose-Einstein. La differenza è che per il superconduttore il parametro d'ordine trasporta “carica elettrica” ed è “accoppiato al campo elettromagnetico”. Si può dimostrare che la variazione dell'angolo di fase Θ con la posizione è una trasformazione che non avrà alcun effetto sul sistema, non possiede questo stato eccitato, cioè “il modo di Goldstone” NON è presente. Ciò significa che il campo elettromagnetico in uno stato superconduttore deve obbedire a una legge tale che il “fotone acquisisce un massa Φ" nel mezzo superconduttore. Sperimentalmente questo è evidenziato dall’effetto Meissner, cioè un campo magnetico non può esistere all'interno del superconduttore, ma può solo penetrare ad una profondità finita. “La profondità di penetrazione magnetica λ, corrisponde la massa inversa del fotone”. In altre parole quando questo tipo di “invarianza è spontaneamente rotta”, il fotone si "mangia" il bosone di Goldstone e "diventa grasso", cioè acquisisce massa. Fu Philip Anderson, e dopo Y. Nambu a spiegare l’effetto Meissner in termini di “rottura spontanea della simmetria”.

Questa è la ragione profonda perchè uno stato superconduttore è differente da un conduttore perfetto.

 
 

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